Sylvesterov zakon inercije. Kvadratni oblici Teorem inercije za kvadratne oblike
Rujan se pokazao uspješnim mjesecem za sve razrede imovine. Prema Dengim procjenama, gotovo sve investicije dale su pozitivne rezultate. Istodobno, najveći prihod donijele su investicije u zlato, koje su imale koristi ne samo od rasta troškova plemenitog metala, već i od slabljenja rublje. Visoki prinosi ulagačima donijeli su glavne kategorije uzajamnih fondova, depozita, kao i većina ruskih dionica. Obveznički fondovi, popularni posljednjih godina, postali su neprofitabilni, kao i dionice Sberbanke, koje bi mogle najviše patiti u slučaju oštrijih američkih sankcija.
Vitalij Kapitonov
Pet mjeseci kasnije, zlato je bila najprofitabilnija investicija u mjesecu. Prema Dengovim procjenama, uloživši 100 tisuća rubalja u plemeniti metal 15. avgusta, ulagač bi mogao dobiti gotovo 5 tisuća rubalja mjesečno. prihod. To je drugi najviši mjesečni rezultat u ovoj godini. Investitor bi mogao zaraditi više u travnju - 9,3 tisuća rubalja.
Visoka profitabilnost ulaganja u dragocjeni metal samo je dijelom posljedica povećanja njegove cijene. Od sredine kolovoza cijena zlata porasla je za 2,4%, na 1205 dolara po unci troje. To je bio odraz američkih inflatornih očekivanja. Prema američkom Ministarstvu trgovine, inflacija se u zemlji usporila s 2,9% u srpnju na 2,7% u kolovozu, ali ostaje iznad ciljeva Feda. Dakle, inflacija i dalje raste, što će omogućiti Fedu da poveća stopa bez oštrih promjena. Plemeniti metal podržan je vijestima da američke i kanadske vlasti i dalje pokušavaju naći kompromis o novom sporazumu NAFTA. "Vijest olakšava trgovinske probleme koji su vagali na tržištu zlata i podržavaju dolar", rekao je Mikhail Sheibe, robni strateg u Sberbank Investment Research. Učinak rasta cijena zlata pojačan je rastom dolara u Rusiji (+ 2,5%). Kao rezultat, ulaganja u rubelj u plemeniti metal donijela su značajan prihod.
Ipak, prema daljnjim ulaganjima u zlato treba postupati s oprezom, tvrde sudionici na tržištu. Eskalacija trgovinskog sukoba između SAD-a i Kine i dalje je ključni rizik ulaganja u plemeniti metal. "Isključen je faktor političkog pritiska, što znači da je pojava novih prepreka praktički stvar prošlosti. Taj razvoj događaja negativan je za zlato, jer će potražnja za dolarom kao zaštitnim sredstvom porasti", kaže Mikhail Sheibe.
Koliki je prihod donio ulaganje u zlato (%)
Izvori: Bloomberg, Reuters, Sberbank.
Uzajamni fondovi ostaju među najprofitabilnijim financijskim proizvodima, dok su pojedinačni proizvodi društava za upravljanje bili u mogućnosti pružiti marže veće od zlata. U listopadu su najuspješnija ulaganja u dioničke fondove specifične za industriju usmjereni na metalurške, telekomunikacijske i naftne i plinske tvrtke. Prema Dengovim procjenama na temelju podataka Investfunds-a, do kraja mjeseca ulaganja u takve fondove dovela bi privatne investitore s 2,2 tisuće rubalja na 5,2 tisuće rubalja.
Ostale kategorije fondova također su osigurale visoku zaradu: indeksni fondovi, mješovita ulaganja, euroobveznice. Sredstva ove kategorije mogu donijeti svojim ulagačima od 200 rubalja. do 4 tisuće rubalja. za 100 tisuća ulaganja.
Obveznici fondova, koje su voljeli privatni ulagači, donijeli su negativan rezultat. Sredstva u ovoj kategoriji su konzervativna, pa su gubici privatnih ulagača bili simbolični - do 1.000 rubalja. U takvim uvjetima ulagači su počeli uzimati profit u obvezničkim fondovima. Prema Investfundsu, maloprodajni ulagači povukli su četiri milijarde rubalja iz obvezničkih fondova u kolovozu. Brže su se povukli iz fondova ove kategorije u prosincu 2014. godine. Potom, na pozadini devalvacije rublje i brzog rasta stopa na domaćem tržištu, ulagači su iz sredstava povukli više od 4,5 milijardi rubalja.
Ulagači dijelom koriste oslobođenu likvidnost za kupnju rizičnijih dioničkih fondova. Opseg sredstava uloženih u sredstva ove kategorije u kolovozu je premašio 3,5 milijardi rubalja, što je 500 milijuna rubalja. više atrakcija u srpnju. Potražnja za rizičnim strategijama raste već šesti mjesec zaredom, a obujam investicija zauzima sve veći udio u ukupnom priljevu maloprodajnih fondova. Telekomunikacije i fondovi za naftu i plin su najveća potražnja među investitorima.
Koliki je prihod donio ulaganje u uzajamne fondove (%)
|
Izvori: Nacionalna liga guvernera, Investfunds.
Augustovski autsajderi - dionice - popeli su se na treće mjesto s četvrte ocjene "Novac". U proteklih mjesec dana ulaganje u indeks MICEX donijelo bi maloprodajnim ulagačima 3,4 tisuće rubalja. Istovremeno, početak promatranog razdoblja nije pokazao dobro za tako visok rezultat. U razdoblju od 15. do 18. kolovoza indeks MICEX pao je za 1,2%. Međutim, situacija se poboljšala nakon 24. kolovoza. U tri tjedna indeks je skočio gotovo 5% i popeo se na razinu od 2374 boda. Ovo je samo 2 boda ispod svih najviših rezultata u ožujku.
Međutim, u rujnu su mnogi indeksi dionica zemalja u razvoju i razvijenih zemalja pokazali pozitivnu dinamiku. Prema procjeni Bloomberga, ruski su indeksi porasli u dolarima za samo 4,4%. Samo su turski indeksi pokazali snažniji rast, povećavši se za 5,9-6,3%. Među pokazateljima razvijenih zemalja vodeća je talijanska FTSE MIB, koja je u mjesecu dodala 3,4%.
Najveća dobit ostvarena je u dionicama ALROSA, Gazproma, MMC-a Norilsk Nickel i Magnit: na tim je vrijednosnim papirima ulagač mogao zaraditi 4,2-8,3 tisuće rubalja. za svakih sto tisuća ulaganja. Prema riječima vodećeg analitičara investicijske kompanije Olma Antona Startseva, interes ulagača za dionice ALROSA potkrijepljen je izjavom ministra financija Antona Siluanova da bi tvrtka mogla koristiti 75% neto dobiti za isplatu dividendi.
Izuzetak od ukupne slike činile su dionice RusHydro, Rostelecom, Aeroflot, ulaganja u koja bi donijela gubitak od 200 rubalja ili više. do 1,4 tisuće rubalja. Ulagači koji su uložili u vrijednosne papire Sberbanke imali bi maksimalne gubitke - 2,1 tisuću rubalja. Njegove dionice i dalje su pod pritiskom komentara službenika američkog State Departmenta, koji ne isključuju mogućnost sankcija banci u studenom. Takvi izgledi plaše međunarodne investitore i prisiljavaju ih da se povuku ne samo iz OFZ-a, već i iz vrijednosnih papira banke.
Nakon pada u kolovozu i rujnu, dionice Sberbanke postale su privlačne za ulaganje, kažu analitičari. "Povratak vrijednosnih papira najveće ruske banke je vrlo vjerojatan, a rizici od njihove kupovine sasvim su opravdani. Srednjoročni ulagači trebali bi se još uvijek usredotočiti na utvrđivanje dobiti od oko 180 RUB po dionici", rekao je Aleksej Antonov, analitičar iz ALOR Broker.
Koliki je prihod donio ulaganje u dionice (%)
|
Pojam kvadratne forme. Kvadratna matrica. Kanonski oblik kvadratnog oblika. Lagrangeova metoda. Normalni prikaz kvadratnog oblika. Poredak, indeks i potpis kvadratnog oblika. Pozitivno određeni kvadratni oblik. Quadrics.
Koncept kvadratne forme: funkcija na vektorskom prostoru, danim homogenim polinomom drugog stupnja u koordinatama vektora.
Kvadrat od nnepoznanice je zbroj, čiji je svaki izraz ili kvadrat jedne od tih nepoznanica, ili produkt dviju različitih nepoznanica.
Kvadratna matrica:Matrica se u danoj osnovi naziva matricom kvadratnog oblika. Ako karakteristika polja nije jednaka 2, možemo pretpostaviti da je matrica kvadratnog oblika simetrična, to jest.
Napišite matricu kvadratnog oblika:
Stoga,
U vektorsko-matričnom obliku, kvadratni oblik je:
Kanonski oblik kvadratnog oblika: Kvadratni oblik naziva se kanonskim ako sve, tj.
Bilo koji kvadratni oblik može se svesti na kanonski oblik pomoću linearnih transformacija. U praksi se obično koriste sljedeće metode.
Lagrangeova metoda : uzastopni odabir kompletnih kvadrata. Na primjer, ako
Zatim se izvodi sličan postupak s kvadratnim oblikom itd. Ako je u kvadratnom obliku sve još uvijek tamo, nakon preliminarne transformacije stvar se svodi na razmatrani postupak. Pa, ako, primjerice, onda stavimo
Normalni prikaz kvadratnog oblika: Normalan kvadratni oblik je kanonski kvadratni oblik u kojem su svi koeficijenti +1 ili -1.
Poredak, indeks i potpis kvadratnog oblika:Po rangu kvadratnog oblika I naziva se rangom matrice I... Poredak kvadratnog oblika ne mijenja se pod neprolaznim transformacijama nepoznanica.
Broj negativnih koeficijenata naziva se indeks negativnog oblika.
Broj pozitivnih izraza u kanonskom obliku naziva se pozitivni indeks inercije kvadratnog oblika, broj negativnih izraza naziva negativni indeks. Razlika između pozitivnih i negativnih indeksa naziva se kvadratni potpis
Pozitivan, kvadratni oblik: Pravi kvadratni oblik naziva se pozitivno definitivno (negativno određeno), ako za bilo koje stvarne vrijednosti varijabli koje nisu istodobno jednake nuli
U ovom se slučaju matrica naziva i pozitivno definitivno (negativno određeno).
Klasa pozitivnih definitivnih (negativno određenih) oblika dio je klase negativnih (odnosno nepozitivnih) oblika.
Quadrics:Kvadrični - n-dimenzionalna hiperpovršina u n+ 1-dimenzionalni prostor, definiran kao skup nula polinoma drugog stupnja. Ako unesete koordinate ( x 1 , x 2 , x n +1) (u euklidskom ili afinskom prostoru), opća jednadžba kvadratnog oblika ima oblik
Ova se jednadžba može kompaktnije prepisati u matricu:
gdje je x \u003d ( x 1 , x 2 , x n +1) je redni vektor, x T - transponirani vektor, P - matrica veličine ( n+1) × ( n+1) (pretpostavlja se da je bar jedan od njegovih elemenata koji nije nula), P Je redak reda, i R Je konstanta. Najčešće se kvadričari razmatraju preko stvarnih ili složenih brojeva. Definicija se može proširiti na kvadriće u projektivnom prostoru, vidi dolje.
Općenitije, skup nula sustava polinomnih jednadžbi poznat je kao algebarska raznolikost. Dakle, kvadrik je (afinna ili projektivna) algebarska raznolikost drugog stupnja i kododimenzije 1.
Ravne i svemirske transformacije.
Definirajte ravninsku transformaciju. Detektor pokreta. svojstva kretanja. Dvije vrste pokreta: pokret 1. vrste i pokret 2. vrste. Primjeri pokreta. Analitički izraz pokreta. Klasifikacija kretanja ravnina (ovisno o prisutnosti fiksnih točaka i invariantnih linija). Skupina kretanja ravnina.
Definicija ravninske transformacije: Definicija.Naziva se transformacija ravnine koja čuva udaljenost između točaka pokret (ili pomicanjem) ravnine. Naziva se transformacija ravnine srodanako mapira bilo koje tri točke koje leže na jednoj pravoj liniji do tri točke koje također leže na jednoj pravoj liniji, a ujedno zadržava jednostavan omjer tri točke.
Detektor pokreta: to je transformacija oblika koja održava udaljenost između točaka. Ako su dvije figure precizno usklađene jedna s drugom kroz kretanje, tada su te figure jednake, jednake.
Svojstva pokreta:bilo koje gibanje ravnine za očuvanje orijentacije bilo je paralelni prijevod ili rotacija, bilo koji pomak ravnine usmjeren prema osi je ili osna simetrija ili klizna simetrija. Točke leže na ravnoj liniji prelaze u točke koje leže na ravnoj liniji tijekom kretanja, a redoslijed njihovog relativnog položaja je sačuvan. Pri kretanju su sačuvani kutovi između poluvodika.
Dvije vrste pokreta: pokret 1. vrste i pokret 2. vrste: Pokreti prve vrste su oni pokreti koji čuvaju orijentaciju baza određenog lika. Mogu se realizirati neprekidnim pokretima.
Pokreti druge vrste su oni pokreti koji mijenjaju orijentaciju baza u suprotnu. Ne mogu se ostvariti stalnim pokretima.
Primjeri pokreta prve vrste su prijevod i rotacija oko ravna pravca, a pokreti druge vrste su središnja i zrcalna simetrija.
Sastav bilo kojeg broja pokreta prve vrste je pokret prve vrste.
Sastav parnog broja pokreta druge vrste je pokret 1. vrste, a sastav neparnog broja pokreta 2. vrste je pokret 2. vrste.
Primjeri pokreta:Paralelni prijenos. Neka je dani vektor. Paralelni prijenos na vektor a naziva se preslikavanjem ravnine na samu sebe, pri čemu se svaka točka M preslikava u točku M1, da je vektor MM 1 jednak vektoru a.
Paralelni prijevod je gibanje jer je preslikavanje ravnine na sebe koja čuva udaljenosti. Taj se pokret može prikazati kao pomicanje cijele ravnine u smjeru određenog vektora a po njegovoj duljini.
Skretanje. Označimo točku O ( središte okreta) i postavite kut α ( kut rotacije). Rotacija ravnine oko točke O za kut α naziva se preslikavanje ravnine na samu sebe, pri čemu se svaka točka M preslikava u točku M1, da je OM \u003d OM1, a kut MOM 1 je α. U tom slučaju točka O ostaje na mjestu, to jest preslikava se u sebe, a sve ostale točke okreću se oko točke O u istom smjeru - u smjeru kazaljke na satu ili u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (slika prikazuje rotaciju u smjeru suprotnom od kazaljke na satu).
Rotacija je kretanje jer je preslikavanje ravnine prema sebi koja održava udaljenosti.
Analitički izraz pokreta: analitička veza između koordinata pred slike i slike točke ima oblik (1).
Klasifikacija kretanja ravnina (ovisno o prisutnosti nepokretnih točaka i invarijskih linija): Definicija:
Točka ravnine je invariantna (fiksna) ako se pod zadanom transformacijom transformiše u sebe.
Primjer: S središnjom simetrijom, središnja točka simetrije je invariantna. Pri skretanju, središnja točka okretanja je invariantna. Uz aksijalnu simetriju, pravac je invarijan - os simetrije je ravna linija invariantnih točaka.
Teorem: Ako gibanje nema invarijantnu točku, onda ima barem jedan invarijantni smjer.
Primjer: paralelni prijenos. Zapravo, ravne linije paralelne s ovim smjerom invariantne su kao figura u cjelini, iako se ne sastoji od invariantnih točaka.
Teorem: Ako se zraka kreće, zraka prenosi u sebe, tada je to kretanje ili identična transformacija, ili simetrija u odnosu na pravac koji sadrži ovu zraku.
Prema tome, prema prisutnosti invariantnih točaka ili figura, moguće je klasificirati pokrete.
| Naziv pokreta | Invariantne točke | Invarijantne linije |
| Kretanje prve vrste. | ||
| 1. - okrenuti | (u sredini) - 0 | ne |
| 2. Identična transformacija | sve točke ravnine | sve ravno |
| 3. Središnja simetrija | točka 0 - središte | sve linije koje prolaze kroz točku 0 |
| 4. Paralelni prijenos | ne | sve ravno |
| Kretanje tipa II. | ||
| 5. Aksijalna simetrija. | skup točaka | os simetrije (pravac) sve ravne linije |
Skupina kretanja ravnina: Samopodesive skupine figura igraju važnu ulogu u geometriji. Ako - neka figura u ravnini (ili u svemiru), tada možete razmotriti skup svih tih pokreta ravnine (ili prostora), u kojem lik prelazi u samu sebe.
Ovo mnoštvo je grupa. Na primjer, za jednakostranični trokut, grupa gibanja ravnina koja pretvara trokut u sebe sastoji se od 6 elemenata: rotacije za kut oko točke i simetrije oko tri ravne linije.
Prikazane su na fig. 1 s crvenim linijama. Elementi samonaravnujuće skupine pravilnog trokuta mogu se različito odrediti. Da bismo to pojasnili, nabrojimo vrhove pravilnog trokuta brojevima 1, 2, 3. Svako samorazvrstavanje trokuta prevodi točke 1, 2, 3 u iste točke, ali uzeto u različitom redoslijedu, tj. može se konvencionalno zapisati u obliku jednog od tih zagrada:
pri čemu brojevi 1, 2, 3 označavaju brojeve tih vrhova, u koje vrhovi 1, 2, 3 prolaze kao rezultat razmatranog kretanja.
Projektivni prostori i njihovi modeli.
Pojam projektivnog prostora i modeli projektivnog prostora. Osnovne činjenice projektivne geometrije. Hrpa ravnih linija usredotočenih na točku O model je projektivne ravnine. Projektivne točke. Proširena ravnina - model projektivne ravnine. Prošireni trodimenzionalni afinski ili euklidski prostor - model projektivnog prostora. Slike ravnih i prostornih figura u paralelnom dizajnu.
Koncept projektivnog prostora i modeli projektivnog prostora:
Projektirani prostor nad poljem je prostor koji se sastoji od ravnih linija (jednodimenzionalnih podprocesa) nekog linearnog prostora nad danim poljem. Ravni prostori se nazivaju točkice projektivni prostor. Ova se definicija podvrgava generalizaciji proizvoljnom tijelu
Ako ima dimenziju, tada je dimenzija projiciranog prostora broj, a sam projektni prostor je označen i nazvan povezanim (da bi se ovo naznačilo, notacija je usvojena).
Prijelaz iz vektorskog prostora dimenzije u odgovarajući projektivni prostor nazivamo projectivization prostor.
Točke se mogu opisati homogenim koordinatama.
Osnovne činjenice projektivne geometrije:Projektivna geometrija je grana geometrije koja proučava projektivne ravnine i prostore. Glavna značajka projektivne geometrije je princip dualnosti, koji mnogim gra construevinama dodaje gracioznu simetriju. Projektivna geometrija može se proučavati i s čisto geometrijskog stajališta, i analitički (koristeći homogene koordinate) i salgebarska, promatrajući projektivnu ravninu kao strukturu nad poljem. Često, povijesno, stvarna projektivna ravnina smatra se euklidskom ravninom s dodatkom "ravne linije u beskonačnosti".
Dok su svojstva figura s kojima se bavi euklidska geometrija metrički (specifične vrijednosti kutova, segmenata, područja) i ekvivalentnosti slika ekvivalentna je njihovim kongruencija (tj. kada se figure mogu prevesti jedna na drugu pomoću pokreta s očuvanjem metričkih svojstava), postoje više „duboko ležeća“ svojstva geometrijskih figura koja su sačuvana pod transformacijama općenitijeg tipa od pokreta. Projektivna geometrija proučava svojstva figura koje su invazivne u klasi projektivne transformacijekao i same te transformacije.
Projektivna geometrija nadopunjuje Euclidean pružajući lijepa i jednostavna rješenja za mnoge probleme komplicirane prisutnošću paralelnih linija. Projektivna teorija stožastog presjeka posebno je jednostavna i elegantna.
Postoje tri glavna pristupa projektivnoj geometriji: neovisna aksiomatizacija, dopunjavanje euklidske geometrije i struktura nad poljem.
aksiomatizacija
Projektivni prostor može se definirati pomoću drugog niza aksioma.
Coxeter pruža sljedeće:
1. Postoji linija i točka nije na njoj.
2. Svaki redak ima najmanje tri točke.
3. Točno jedna ravna linija može se provući kroz dvije točke.
4. Ako , B, Ci D - razne točke i AB i CD presijecati, dakle AC i BD presijecati.
5. Ako abeceda - ravnina, onda postoji barem jedna točka koja nije u ravnini abeceda.
6. Dvije različite ravnine presijecaju najmanje dvije točke.
7. Tri dijagonalne točke potpunog četverokuta nisu kolinearne.
8. Ako tri točke na ravnoj liniji x x
Projektivna ravnina (bez treće dimenzije) određena je malo drugačijim aksiomima:
1. Točno jedna ravna linija može se provući kroz dvije točke.
2. Bilo koje dvije crte se presijecaju.
3. Postoje četiri točke od kojih ne postoje tri kolinearne.
4. Tri dijagonalne točke potpunih četverostrana nisu kolinearne.
5. Ako tri točke na ravnoj liniji x su invarijantni s obzirom na projektivnost φ, tada su sve točke na x su invarijantni u odnosu na φ.
6. Desarguesov teorem: Ako su dva trokuta perspektivna kroz točku, onda su perspektivna kroz liniju.
U prisutnosti treće dimenzije, Desarguesov teorem može se dokazati bez uvođenja idealnih točaka i linija.
Produžena ravnina - model projektivne ravnine: uzeti u afinski prostor A3 snop linija S (O) centriranih u točki O i ravnine Π koja ne prolazi kroz središte snopa: O 6∈ Π. Hrpa linija u srodnom prostoru je model projektivne ravnine. Dodijelimo preslikavanje od skupa točaka ravnine Π skupu ravnih linija spojne S (Sranje, moli ako imaš ovo pitanje, oprosti)
Prošireni trodimenzionalni afinski ili euklidski prostor - model projektivnog prostora:
Da bi se preslikavanje učinilo surjektivnim, ponavljamo postupak formalnog produljenja afinske ravnine Π na projektivnu ravninu Π, nadopunjujući ravninu Π sa skupom nepravilnih točaka (M∞), tako da: ((M∞)) \u003d P0 (O). Budući da je u mapiranju predimaža svake ravnine snopa ravnina S (O) ravna linija na ravnini d, očito je da je skup svih nepravilnih točaka produžene ravnine: Π \u003d Π ∩ (M∞), (M∞), nepravilna ravna d straight produžene ravnina koja je obratna slika singularne ravnine Π0: (d∞) \u003d P0 (O) (\u003d Π0). (I.23) Složimo se da je posljednja jednakost P0 (O) \u003d Π0 ovdje i u daljnjem tekstu podrazumijevamo u smislu jednakosti skupova točaka, ali obdarenu drugačijom strukturom. Dopunjavanjem afinske ravnine nepravilnom ravnom linijom postigli smo da preslikavanje (I.21) postaje bijektivno na skupu svih točaka produžene ravnine:
Slike ravnih i prostornih oblika u paralelnom dizajnu:
U stereometriji se proučavaju prostorne figure, ali na crtežu su prikazane kao ravne figure. Kako bi se na ravnini trebala prikazati prostorna figura? Geometrija obično koristi paralelni dizajn za to. Neka p bude neka ravnina, l - ravna linija koja ga presijeca (Sl. 1). Kroz proizvoljnu točku ne pripadaju pravoj liniji l, nacrtajte ravnu liniju paralelnu s ravnom l... Točka sjecišta ove crte s ravninom p naziva se paralelnom projekcijom točke na ravnini p u smjeru ravne linije l... Označavamo ga ". Ako točka pripada izravnom l, zatim paralelna projekcija na ravnini p je točka sjecišta ravne linije l ravninom p.
Dakle, svaka točka prostor se uspoređuje s njegovom projekcijom "na ravnini p. To se podudaranje naziva paralelna projekcija na ravninu p u smjeru ravno l.
Skupina projektivnih transformacija. Primjena u rješavanju problema.
Koncept projektivne transformacije ravnine. Primjeri projektivnih transformacija ravnine. Svojstva projektivnih transformacija. Homologija, svojstva homologije. Skupina projektivnih transformacija.
Koncept projektivne transformacije ravnine: Koncept projektivne transformacije generalizira pojam središnje projekcije. Ako izvršimo središnju projekciju ravnine α na neku ravninu α 1, tada projekciju α 1 na α 2, α 2 na α 3, ... i, na kraju, neku ravninu α n opet na α 1, tada je sastav svih tih projekcija projektivna transformacija ravnine α; paralelne projekcije mogu se uključiti u takav lanac.
Primjeri projektivnih transformacija ravnine: Projektivna transformacija dovršene ravnine je preslikavanje jednog na jedan na sebi, što čuva kolinearnost točaka ili, drugim riječima, slika bilo koje crte je ravna linija. Bilo koja projektivna transformacija sastav je lanca središnjih i paralelnih projekcija. Afinantna transformacija poseban je slučaj projektivne transformacije, u kojoj beskrajno udaljena linija prelazi u sebe.
Svojstva projektivnih transformacija:
Pod projektivnom transformacijom tri točke koje ne leže na liniji prelaze u tri točke koje ne leže na liniji.
Projektivnom transformacijom okvir se pretvara u okvir.
Pod projektivnom transformacijom, ravna se pretvara u ravnu, a snop se pretvara u snop.
Homologija, svojstva homologije:
Projektivna transformacija ravnine koja ima ravan pravac invariantnih točaka, a samim tim i olovka invariantnih ravnih linija, naziva se homologija.
1. Ravna linija koja prolazi kroz ne podudarajuće odgovarajuće točke homologije je invariantna ravna linija;
2. Linije koje prolaze kroz odgovarajuće neskladne točke homologije pripadaju jednom snopu, u čijem je središtu invariantna točka.
3. Poanta, njegova slika i središte homologije kolinearni su.
Skupina projektivnih transformacija:razmotrite projektivno preslikavanje projektivne ravnine P2 na sebe, odnosno projektivnu transformaciju ove ravnine (P 2 '\u003d P 2).
Kao i prije, sastav f projektivnih transformacija f 1 i f 2 projicirane ravnine P 2 rezultat je uzastopnog izvršavanja transformacija f 1 i f 2: f \u003d f 2 ° f 1.
Teorem 1: skup H svih projektivnih transformacija projektivne ravnine P2 skupina je s obzirom na sastav projektivnih transformacija.
Kvadratni oblik se može dovesti u normalan oblik raznim nerađenim linearnim transformacijama (transformacije koordinata). Postavlja se pitanje: kako su različite normalne vrste istog kvadratnog oblika međusobno povezane?
Neka bude L n - n-dimenzionalni linearni prostor nad poljem R i neka mu bude dodan kvadratni oblik j (i ). Pustiti unutra L n daje se osnova e = (e 1 , e 2, … , e n ) Pusti to IJe li matrica zadanog oblika u ovoj osnovi. Neka bude e 1 = (e 1 1 , e 2 1, … , e n 1 ) Je jedna od osnova u kojoj j (i ) ima kanonski oblik i Tmatrica prijelazne osnove e do baze e 1 ... U osnovi e 1 oblik j (i ) ima dijagonalnu matricu A 1... Po formuli (56) A 1 \u003d T T × I× T. matrice Ti T T su nestandardni. Umnožavanje matrice Ina nedegeneriranu matricu ne mijenja se rang matrice Iotuda je zazvonio \u003d zazvonio A 1, tj. u bilo kojoj osnovi, matrica kvadratnog oblika ima isti rang.
Definicija 63. Rang kvadratnog oblika na linearnom prostoru L n naziva se rangom njegove matrice u bilo kojoj osnovi ovog prostora.
Budući da je rang dijagonalne matrice jednak broju ne-nuro dijagonalnih elemenata, bilo koji kanonski oblik danog kvadratnog oblika sadrži isti broj kvadrata varijabli s ne-nula koeficijentima. Taj je broj jednak rangu obrasca. Stoga je dokazana sljedeća izjava:
Teorem 66. Složen kvadratni oblik reducira se bilo kakvom neizređenom linearnom transformacijom u isti normalan oblik, koji se sastoji od rkvadrati varijabli s jediničnim koeficijentima, tj. j= x 1 2 + x 2 2+ … + x r 2.
Ako je polje R je polje realnih brojeva, tada će biti normalan oblik kvadratnog oblika j (i ) = x 1 2 + x 2 2 + … + x k 2 – x k + 1 2– … – x r 2.
Definicija 64. Naziva se broj kvadrata varijabli uključenih s koeficijentom (+1) u normalnom obliku stvarnog kvadratnog oblika pozitivan indeks inercije ovog oblika. Naziva se broj kvadrata s koeficijentom (–1) indeks negativne inercije , razlika između broja varijabli i ranga kvadratnog oblika (tj. n -r) nazvao je mana .
Teorem 67(zakon inercije kvadratnih oblika ). Broj pozitivnih i broj negativnih kvadrata u normalnom obliku, do kojih se kvadratni oblik s realnim koeficijentima smanjuje stvarnom neproizvođenom linearnom transformacijom, ne ovisi o izboru ove transformacije.
Dokaz.Neka bude j (i ) Je u osnovi dat kvadratni oblik e = (e 1 , e 2, … , e n ) linearni prostor L n preko polja R , i = x 1 e 1 + x 2 e 2 + … + x n e n ... Neka se ovaj oblik svodi na dva načina na dva normalna oblika. Prema prethodnim rezultatima, oba ova normalna oblika sadrže isti broj kvadrata varijabli s ne-nula koeficijentima. Neka bude
j = y 1 2 + y 2 2 + … + y do 2 – y k + 1 2 – … – y r 2 =
\u003d z 1 2 + z 2 2 +… + z p 2 - z p + 1 2 -… - z r 2. (*)
Neka bude na i = , і = 1, 2, … , n (**), i z ј = , ј = 1, 2, … , n (***).
Budući da ove formule definiraju negenerene transformacije, njihove su odrednice ne-nuro. To je dovoljno dokazati k \u003d p.Pretvarajmo se da do¹ r... Bez gubitka općenitosti, to možemo pretpostaviti do< r... Sastavimo sustav jednadžbi y 1 \u003d y 2 \u003d… \u003d y k \u003d z p + 1 \u003d… \u003d z r \u003d z r + 1 \u003d… \u003d z n \u003d0. Ovo je sustav n - str+ dolinearne homogene jednadžbe u n nepoznata. Budući da je broj jednadžbi manji od broja nepoznanica, on ima ne-nužna rješenja. Neka bude ( x 1 0, x 2 0, ..., x n 0) jedan je od njih. Supstituirajući ovo rješenje u formule (**) i (***), sve smo izračunali na i i z ј i zamijeni ih u jednakost (*). Dobijamo - ( y k + 1 0) 2 – … – (y r 0) 2 = (z 1 0) 2 +(z 2 0) 2 + … +(z p 0) 2. Ova je jednakost moguća samo ako i samo ako y k + 1 0 = … = y r 0 = z 1 0 = z 2 0 = … = z p 0\u003d 0. Shvatili smo da je sustav z 1 = z 2 = … = z p \u003d z p + 1 \u003d… \u003d z r \u003d z r + 1 \u003d… \u003d z n \u003d0 ima ne-nuro rješenje x 1 0, x 2 0, ..., x n 0), što je nemoguće, budući da rang ovog sustava je n... Dakle, naša je pretpostavka pogrešna. Stoga, k \u003d p.
9.5. Pozitivni određeni kvadratni oblici
Definicija 65. Pravi se kvadratni oblik naziva pozitivno definirano ako za bilo koji vektor i ¹ 0 odvija se j (i ) > 0.
Teorem 68. Pravi kvadratni oblik pozitivan je definitivno ako i samo ako su njegov rang i pozitivni indeks inercije jednaki broju nepoznanica.
Dokaz. Þ Neka j (i ) Je stvarni pozitivni definitivni kvadratni oblik. Neka se svede na normalan oblik
y 1 2 + y 2 2 + … + y do 2 – y k + 1 2 – … – y r 2 (*),
u kojem bilo r< n ili r \u003d nali do< n ... Neka transformacija koordinata, pomoću koje se oblik dovede u normalan oblik, dobijena formulama na i \u003d (**). Determinanta ovih formula je nula. Ako a r< n, onda uzmimo y 1 \u003d y 2 \u003d… \u003d y n - 1 = 0, kod n \u003d 1 i zamijenite u (**). Dobivamo sustav n linearne nehomogene jednadžbe sa nnepoznanica i s odrednicom koja nije nula. Prema Cramerovom pravilu, ovaj sustav ima jedinstveno rješenje. Očito je da ovo rješenje nije nula, stoga definira negero vektor i ... Ali onda j (i ) \u003d 0, što je u suprotnosti s definicijom pozitivnog određenog oblika. Slično tome, dolazimo do kontradikcije u slučaju r \u003d nali do< n ... Dakle, ako je obrazac pozitivan, onda je to i njegov normalan oblik y 1 2 + y 2 2 + … + na n 2... To znači da su rang i pozitivni indeks inercije jednaki br.
X Rang i pozitivni indeks inercije stvarnog kvadratnog oblika su br.Dokažite za sebe da je obrazac definitivno pozitivan.
Primjećujemo, bez dokaza, još jednu teoremu o pozitivnim određenim stvarnim kvadratnim oblicima.
Teorem 69 ... Pravi kvadratni oblik pozitivan je definitivno ako i samo ako su svi glavni maloljetnici njegove matrice pozitivni.
Teorem 70. Duljina kvadrata vektora u bilo kojoj osnovi euklidskog prostora dana je pozitivnim određenim kvadratnim oblikom.
Dokaz. Neka bude E n – n-dimenzionalni euklidski prostor, e = (e 1 , e 2, … , e n ) Je osnova u tome i D- Gram-ova matrica, koja na ovoj osnovi određuje skalarni produkt vektora. Ako a i = x 1 e 1 + x 2 e 2 + … + x n e n , u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + … + kod n e n , tada ( a, u) = x T × D× nagdje x T- niz vektorskih koordinata i , y -vektorski koordinatni stupac u ... Stoga, i 2 = (i , i ) = x T × D× x. Ako to usporedimo s formulom (60), onda to i dobivamo x T × D× x je kvadratni oblik s matricom G. U svemiru E n je ortonormalna osnova. U toj osnovi i 2 = x 1 2 + x 2 2+…+ x n 2. Ali to znači da je prelaskom na ortonormalnu osnovu, kvadratni oblik x T × D× xnormalizirani x 1 2 + x 2 2+…+ x n 2. Prema teoremu 68 nalazimo da je oblik x T × D× x pozitivno je definitivno.
Primjer. Koji su od sljedećih kvadratnih oblika pozitivno određeni?
1. 4x 1 2 – x 1 x 2 + 3x 2 2 – x 2 x 3+ 6x 2 x 4.
2. 4x 1 x 2 – x 1 x 3 + 2x 2 2 – 4x 2 x 3+ 3x 2 x 4+ 5x 4 2 .
3. 4x 1 2 – 5x 1 x 2 + 3x 2 2 – 2x 2 x 3+ x 3 2 + 4x 2 x 4 – x 4 2 .
Odluka. Dva su načina za odgovor na pitanje: dovesti obrazac u kanonski oblik ili izračunati glavne maloljetnike matrice datog oblika. Za prvi oblik koristit ćemo prvu metodu, za drugi i treći - drugi način.
1. 4x 1 2 – x 1 x 2 + 3x 2 2 – x 2 x 3+ 6x 2 x 4 = (4x 1 2 – x 1 x 2+ ) – + 3x 2 2 – x 2 x 3+ 6x 2 x 4 =
Pojedinačne mrežne lekcije: Pošaljite zahtjev sada: [adresa e-pošte zaštićena]Matematika (USE, OGE), engleski (razgovorni, gramatika, TOEFL)
Rješavanje problema: iz matematike, informatike, ekonomije, psihologije Zakon inercije kvadratnih oblika
Prijenosni Windows programi na Bodrenko.com
§ 4. Zakon inercije kvadratnih oblika. Klasifikacija kvadratnih oblika
1. Zakon inercije kvadratnih oblika. Već smo primijetili (vidi napomenu 2. u točki 1. prethodnog odjeljka) da je rang kvadratnog oblika jednak broju ne-nultonskih kanonskih koeficijenata. Dakle, broj neronih kanonskih koeficijenata ne ovisi o izboru nedegenerirane transformacije kojom se oblik A (x, x) svodi na kanonski oblik. U stvari, za bilo koju metodu redukcije oblika A (x, x) na kanonski oblik, broj pozitivnih i negativnih kanonskih koeficijenata se ne mijenja. To se svojstvo naziva zakonom inercije kvadratnih oblika.
Prije nego što nastavimo s utemeljenjem zakona inercije, učinimo nekoliko komentara.
Neka se oblik A (x, x) u bazi e \u003d (e 1, e 2, ..., e n) odredi matricom A (e) \u003d (a ij):
pri čemu su ξ 1, ξ 2, ..., ξ n koordinate vektora x u bazi e. Pretpostavimo da se ovaj oblik svodi na kanonski oblik korištenjem nedegenerirane transformacije koordinata
gdje su λ 1, λ 2, ..., λ k su ne-kanonski koeficijenti, numerirani tako da su prvi q tih koeficijenata pozitivni, a sljedeći koeficijenti negativni:
λ 1\u003e 0, λ 2\u003e 0, ..., λ q\u003e 0, λ q + 1< 0, ..., λ k <0.
Razmotrimo slijedeću negenerenu transformaciju koordinata μ i (lako je vidjeti da je odrednica te transformacije ne-nula):
Kao rezultat ove transformacije oblik A (x, x) poprima oblik
nazivamo normalnom vrstom kvadratnog oblika.
Dakle, uz pomoć neke nedegenerirane transformacije koordinata ξ 1, ξ 2, ..., ξ n vektora x u bazi e \u003d (e 1, e 2, ..., e n)
(ta je transformacija proizvod transformacija ξ u μ i μ u η po formulama (7.30)), kvadratni oblik se može svesti na normalan oblik (7.31).
Dokazimo sljedeću tvrdnju.
Teorem 7.5 (zakon inercije za kvadratne oblike). Broj izraza s pozitivnim (negativnim) koeficijentima u normalnom obliku kvadratnog oblika ne ovisi o načinu na koji se oblik svodi na ovaj oblik.
Dokaz. Neka se oblik A (x, x) reducira na normalan oblik (7.31) uz pomoć nedegenerirane transformacije koordinata (7.32) te se pomoću druge negenerene koordinate transformacije reducira na normalan oblik
Očito je da bi se dokazao teorem dovoljno provjeriti jednakost p \u003d q.
Neka je p\u003e q. Provjeravamo da u ovom slučaju postoji nulte n vektor x takav da u odnosu na baze u kojima oblik A (x, x) ima oblik (7.31) i (7.33), koordinate η 1, η 2, ..., η q i ζ p + 1, ..., ζ n ovog vektora jednake su nuli:
η 1 \u003d 0, η 2 \u003d 0, ..., η q \u003d 0, ζ p + 1 \u003d 0, ..., ζ n \u003d 0 (7,34)
Budući da su koordinate η ja dobivaju se nerođenim pretvaranjem (7.32) koordinata ξ 1, ..., ξ n i koordinate ζ ja - koristeći sličnu neizređenu transformaciju istih koordinata ξ 1, ..., ξ n, tada se odnosi (7.34) mogu smatrati sustav linearnih homogenih jednadžbi s obzirom na koordinate ξ 1, ..., ξ n potrebnog vektora h u bazi e \u003d ( e 1, e 2, ..., e n) (na primjer, u proširenom obliku, odnos η 1 \u003d 0 ima, prema (7.32), oblik a 11 ξ 1 + a 12 ξ 2 + a 1 n ξ n \u003d 0) - Budući da je p\u003e q, broj homogenih jednadžbi (7.34) je manji od n, i stoga sustav (7.34) ima ne-nuro rješenje u odnosu na koordinate ξ 1, ..., ξ n potrebnog vektora x. Stoga, ako je p\u003e q, tada postoji nulte n vektor x za koji su zadovoljeni odnosi (7.34).
Izračunajmo vrijednost oblika A (x, x) za ovaj vektor x. Prelazeći na odnose (7.31) i (7.33), dobivamo
Posljednja jednakost može se dogoditi samo u slučaju η q + 1 \u003d ... \u003d η k \u003d 0 i ζ 1 \u003d ζ 2 \u003d ... \u003d ζ r \u003d 0.
Tako su, u neku ruku, sve koordinate ζ 1, ζ 2, ..., ζ n necero vektor x jednak je nuli (vidi zadnje jednakosti i odnose (7.34)), tj. vektor x je nula. Dakle, pretpostavka p\u003e q vodi u kontradikciju. Iz sličnih razloga dovodi do kontradikcije i pretpostavke str< q.
Dakle p \u003d q. Teorem je dokazan.
2. Klasifikacija kvadratnih oblika. U pododjeljku 1. stavka 2. ovog poglavlja (vidjeti definiciju 2) uvedeni su pojmovi pozitivnog određenog, negativnog određenog, naizmjeničnog znaka i kvazi-definitivnih kvadratnih oblika.
U ovom ćemo pododjeljku, koristeći pojmove indeksa inercije, pozitivnih i negativnih indeksa inercije kvadrata oblika, navesti kako možemo saznati pripada li kvadratni oblik jednoj od gore navedenih vrsta. U ovom slučaju, indeks inercije kvadratnog oblika je broj neronih kanonskih koeficijenata ovog oblika (tj. Njegov rang), pozitivni indeks inercije je broj pozitivnih kanonskih koeficijenata, a negativni indeks inercije je broj negativnih kanonskih koeficijenata. Jasno je da je zbroj pozitivnih i negativnih indeksa inercije jednak inercijskom indeksu.
Dakle, neka indeks inercije, pozitivni i negativni indeksi inercije kvadratnog oblika A (x, x) budu, k, p, i q (k \u003d p + q). U prethodnom pododjeljku dokazano je da je u bilo kojoj kanonskoj osnovi f \u003d (f 1 , f 2, ..., fn) ovaj se oblik može svesti na sljedeći normalan oblik:
gdje su η 1, η 2, ..., η n koordinate vektora x u bazi f.
1 °. Neophodan i dovoljan uvjet za definitivan znak kvadratnog oblika. Sljedeća je tvrdnja istinita.
Da bi kvadratni oblik A (x, x), dat u n-dimenzionalnom linearnom prostoru L, bio točan, potrebno je i dovoljno da bilo pozitivni indeks inercije p ili negativni indeks inercije q bude jednak dimenziji n prostora L.
Štoviše, ako je p \u003d n, tada je oblik definitivno pozitivan, ali ako je q \u003d n, onda je oblik negativan.
Dokaz. Budući da se slučajevi pozitivnog određenog oblika i negativnog određenog oblika razmatraju na sličan način, provest ćemo dokaz izjave za pozitivne određene oblike.
1) Nužnost. Neka je oblik A (x, x) pozitivan. Tada izraz (7.35) poprima oblik
A (x, x) \u003d η 1 2 + η 2 2 + ... + η p 2.
Ako u isto vrijeme str< n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами
η 1 \u003d 0, η 2 \u003d 0, ..., η p \u003d 0, η p + 1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0
oblik A (x, x) nestaje, a to proturječi definiciji pozitivnog određenog kvadratnog oblika. Stoga je p \u003d n.
2) Dovoljnost. Neka je p \u003d n. Tada odnos (7.35) ima oblik A (h, h) \u003d η 1 2 + η 2 2 + ... + η r 2. Jasno je da je A (x, x) ≥ 0, a ako je A \u003d 0, onda je η 1 \u003d η 2 \u003d ... \u003d η n \u003d 0, to jest, vektor x je nula. Stoga je A (x, x) pozitivno definiran oblik.
Komentar. Da bismo razjasnili pitanje definitivnosti kvadratnog oblika pomoću navedenog kriterija, moramo ovaj oblik dovesti u kanonski oblik.
U sljedećem pododjeljku dokazujemo Sylvesterov kriterij za definitivnost kvadratnog oblika, koji se može upotrijebiti za razjašnjenje pitanja o definitivnosti oblika danom u bilo kojoj osnovi, bez reduciranja na kanonski oblik.
2 °. Nužan i dovoljan uvjet za izmjenu kvadratnog oblika. Dokazimo sljedeću tvrdnju.
Da bi se kvadratni oblik naizmjenično mijenjao, potrebno je i dovoljno da i pozitivni i negativni indeksi inercije ovog oblika budu nula.
Dokaz. 1) Nužnost. Budući da izmjenični oblik uzima i pozitivne i negativne vrijednosti, njegovo predstavljanje G.35) u svom normalnom obliku mora sadržavati i pozitivne i negativne izraze (inače bi taj oblik uzeo ili negativne ili negativne vrijednosti). Stoga su i pozitivni i negativni indeksi inercije ne-nuli.
2) Dovoljnost. Neka je p ≠ 0 i q ≠ 0. Zatim je za vektor x 1, s koordinatama η 1 ≠ 0, ..., η p ≠ 0, η p + 1 \u003d 0, ..., η n \u003d 0 imamo A (x 1 x 1)\u003e 0, a za vektor x 2 s koordinatama η 1 \u003d 0, ..., η p \u003d 0, η p + 1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 imamo A (x 2, x 2)< 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3 °. Nužni i dovoljan uvjet da kvadratni oblik bude kvazi-određen. Sljedeća je tvrdnja istinita.
Da bi oblik A (x, x) bio kvazi-definiran, potrebno je i dovoljno da odnosi budu održani: bilo p< n
,
q = 0, либо р = 0, q < n
.
Dokaz. Razmotrit ćemo slučaj pozitivno kvazi-znakovnog oblika. Slično se razmatra i slučaj negativnog kvazi-znakovnog oblika.
1) Nužnost. Neka je oblik A (x, x) pozitivno kvazi-određen. Tada je, očito, q \u003d 0 i p< n
(если бы р =
n
, то форма была бы положительно определенной),
2) Dovoljnost. Ako str< n
, q = 0, то А(х, х)
≥ 0
и для ненулевого вектора х с координатами
η 1 = 0, η
2 = 0,
..., η
р = 0, η p + 1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 imamo A (x, x) \u003d 0, tj. A (x, x) je pozitivan kvazi-znak definitivan oblik.
3. Sylvesterov kriterij (James Joseph Sylvester (1814-1897) - engleski matematičar) određenog znaka kvadratnog oblika. Neka se oblik A (x, x) u bazi e \u003d (e 1, e 2, ..., e n) odredi matricom A (e) \u003d (a ij):
pusti to Δ 1 \u003d a 11, 
- kutni minori i odrednica matrice (a ij). Sljedeća je tvrdnja istinita.
Teorem 7.6 (Silvesterov kriterij). Da bi kvadratni oblik A (x, x) bio pozitivno određen, potrebno je i dovoljno da su nejednakosti Δ 1\u003e 0, Δ 2\u003e 0, ..., Δ n\u003e 0.
Da bi kvadratni oblik bio negativan na određenom mjestu, potrebno je i dovoljno da se znakovi minusa kuta izmjenjuju i Δ 1< 0.
Dokaz. 1) Nužnost. Dokažimo najprije da iz uvjeta definitivnosti kvadratnog oblika A (x, x) slijedi da Δ i ≠ 0, i \u003d 1, 2, ..., n.
Provjeravamo da je pretpostavka Δ k \u003d 0 dovodi do kontradikcije - pod ovom pretpostavkom postoji nebrojni vektor x za koji je A (x, x) \u003d 0, što je u suprotnosti sa definitivnošću oblika.
Pa neka je Δ k \u003d 0. Razmotrite sljedeći kvadratni homogeni sustav linearnih jednadžbi:
Budući da je Δ k je odrednica ovog sustava i Δ k \u003d 0, tada sustav ima ne-nulte rješenje ξ 1, ξ 2, ..., ξ k (nisu svi ξ i jednaki 0). Pomnožimo prvu jednadžbu (7.36) s ξ 1, drugu s ξ 2, ..., zadnju na ξ k i dodamo rezultirajuće odnose. Kao rezultat, dobivamo jednakost 
čija je lijeva strana vrijednost kvadratnog oblika A (x, x) za ne-nula vektor x s koordinatama (ξ 1, ξ 2, ..., ξ k, 0, ..., 0). Ova vrijednost jednaka je nuli, što je u suprotnosti sa definitivnim znakom obrasca.
Dakle, osigurali smo da Δ ja ≠ 0, i \u003d 1, 2, ..., n. Prema tome, možemo primijeniti Jacobijevu metodu reduciranja oblika A (x, x) na zbroj kvadrata (vidjeti teorem 7.4) i za kanonske koeficijente λ koristiti formule (7.27) ja... Ako je A (x, x) pozitivan određeni oblik, tada su svi kanonski koeficijenti pozitivni. Ali onda iz odnosa (7.27) proizlazi da je Δ 1\u003e 0, Δ 2\u003e 0, ..., Δ n\u003e 0. Ako je A (x, x) negativan određeni oblik, tada su svi kanonski koeficijenti negativni. Ali onda iz formula (7.27) proizlazi da se znakovi kutnih maloljetnika izmjenjuju i Δ 1< 0.
2) Dovoljnost. Neka su uvjeti nametnuti kutnim minorima Δ ja u izjavi teorema. Budući da je Δ ja ≠ 0, i \u003d 1, 2, ..., n, tada se oblik A može smanjiti na zbroj kvadrata po Jacobijevoj metodi (vidi teorem 7.4), a kanonski koeficijenti λ ja mogu se naći formulama (7.27). Ako je Δ 1\u003e 0, Δ 2\u003e 0, ..., Δ n\u003e 0, onda iz odnosa (7.27) slijedi da je sve λ ja \u003e 0, to jest oblik A (x, x) je definitivno pozitivan. Ako su znakovi Δ ja naizmjenično i Δ 1< 0, то из соотношений (7.27) следует,
что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.
Normalni prikaz kvadratnog oblika.
Prema Lagrangeovom teoremu bilo koji kvadratni oblik može se svesti na kanonski oblik. Odnosno, postoji dijagonalizirajuća (kanonska) osnova u kojoj matrica ovog kvadratnog oblika ima dijagonalni oblik
gdje. Tada u toj osnovi kvadratni oblik ima oblik
Neka među nulte elemente ima i pozitivnih i negativnih, i. Promjenjujući, ako je potrebno, numeriranje osnovnih vektora, uvijek možete osigurati da su prvi elementi u dijagonalnoj matrici kvadratnog oblika pozitivni, a ostali negativni (ako su tada posljednji elementi u matrici nula). Kao rezultat toga, kvadratni oblik (10.17) može se zapisati u sljedeći oblik
Kao rezultat zamjene varijabli varijablama u skladu sa sustavom:
kvadratni oblik (6.18) ima dijagonalni oblik, u kojem su koeficijenti kvadrata varijabli jedinstvo, minus ili nula:
gdje matrica kvadratnog oblika (10.19) ima oblik dijagonale
Definicija 10.9. Naziva se notacija (10.19) normalan pogledkvadratni oblik, a osnova dijagonalizacije u kojoj kvadratni oblik ima matricu (10.20) naziva se normalizirajuća osnova.
Dakle, u normalnom obliku (10.19) kvadratnog oblika dijagonalni elementi matrice (10.20) mogu biti jedan, minus jedan ili nula, i raspoređeni su tako da prvo dolaze prvi, zatim minus, a zatim nule (slučajevi nestajanja određene vrijednosti ,,).
Tako je dokazana sljedeća teorema.
Teorem 10.3. Bilo koji kvadratni oblik može se reducirati na normalan oblik (10.19) dijagonalnom matricom (10.20).
Kvadratni zakon inercije
Kvadratni oblik može se svesti na kanonski oblik na različite načine (metodom Lagrangea, metodom ortogonalnih transformacija ili Jacobijevom metodom). No, unatoč raznolikosti kanonskih oblika za određeni kvadratni oblik, postoje karakteristike njegovih koeficijenata koje u svim tim kanonskim oblicima ostaju nepromijenjene. Govorimo o tzv numerički invarijanti kvadratni oblik. Jedan od numeričkih invarijanata kvadratnog oblika je rang kvadratnog oblika.
Teorem 10.4 (o invarijantnosti ranga kvadratnog oblika ) Poredak kvadratnog oblika ne mijenja se u nerođenim linearnim transformacijama i jednak je broju ne-nuro koeficijenata u bilo kojem od njegovih kanonskih oblika Drugim riječima, rang kvadratnog oblika jednak je broju nebrojenih vlastitih vrijednosti matrice kvadratnog oblika (uzimajući u obzir njihovu množinu).
Definicija 10.10.Pozvan je rang kvadratnog oblika indeks inercije... Naziva se broj pozitivnih i broj () negativnih brojeva u normalnom obliku (3) kvadratnog oblika pozitivan i negativni indeksi inercija kvadratnog oblika, odn. Popis se zove potpisom kvadratni oblik.
Pozitivni i negativni indeksi inercije su numerički invarijanti kvadratnog oblika. Sljedeća teorema vrijedi nazvana zakon inercije.
Teorem 10,5 (zakon inercije ) Kanonski oblik (10.17) kvadratnog oblika jedinstveno je određen, odnosno, potpis ne ovisi o izboru dijagonalizirajuće osnove (ne ovisi o načinu redukcije kvadratnog oblika na kanonski oblik).
□ Izjava teoreme znači da ako je isti kvadratni oblik pomoću dvije ne-singularne linearne transformacije
svedeno na različite kanonske oblike ():
onda je obavezan, odnosno broj pozitivnih koeficijenata koincidira s brojem pozitivnih koeficijenata.
Suprotno tvrdnji, pretpostavimo da. Budući da su transformacije (10.21) negenerene, iz njih možemo izraziti kanonske varijable:
Pronađimo takav vektor da odgovarajući vektori imaju oblik
U tu svrhu, matrice prikazujemo u sljedećim blokovskim oblicima:
gdje su označeni -matrix, -matrix, -matrix, -matrix.
Kao rezultat blok reprezentacija matrica i sastavljamo homogeni sustav linearnih algebričnih jednadžbi uzimajući prve jednadžbe iz (10.22) i posljednje jednadžbe iz (10.23):
Rezultirajući sustav sadrži jednadžbe i nepoznanice (vektorske komponente). Budući da je, u ovom sustavu, broj jednadžbi manji od broja nepoznanica, a ima beskonačan broj rješenja, među kojima se može razlikovati ne-nuro rješenje.
Na rezultirajućem vektoru vrijednosti oblika imaju različite znakove:
što je nemoguće. Dakle, pretpostavka o tome što nije u redu, to jest.
Iz toga slijedi da potpis ne ovisi o izboru dijagonalizirajuće osnove. ■
Kao ilustracija zakona inercije može se pokazati da je kvadratni oblik u tri varijable:
dvije nesingularne linearne transformacije s odgovarajućim matricama
(prva matrica odgovara Lagrangeovoj metodi, druga ortogonalnoj metodi transformacije) svodi se na dva različita kanonska oblika
Štoviše, oba kanonska oblika imaju isti potpis
6. Kvadratni oblici s određenim znakom i znakovi naizmjenično
Kvadratni oblici dijele se na vrste ovisno o skupu vrijednosti koje prihvaćaju.
Definicija 10.11.Četverokutni oblik naziva se:
pozitivno definirano
negativno definiranoako za bilo koji nebrojni vektor:;
nepozitivno određen (negativno semidefinit)ako za bilo koji nebrojni vektor:;
nenegativno definitivno (pozitivno semidefinit)ako za bilo koji nebrojni vektor:;
naizmjeničanako postoje ne-nuktori,:.
Definicija 10.12. Pozitivni (negativni) definitivni kvadratni oblici se nazivaju određen... Nepozitivno se (nenegativno) određuju kvadratni oblici trajan.
Vrsta kvadratnog oblika može se lako utvrditi pretvaranjem u kanonski (ili uobičajeni) oblik. Sljedeće dvije teoreme su istinite.
Teorem 10.6. Neka se kvadratni oblik svodi na kanonski oblik i ima potpis (,). Zatim:
Je pozitivno definirano ;
Je negativno definirano ;
Je nije pozitivno definitivno ;
Je negativno definitivno ;
Je naizmjeničan )., Zatim: ne-negativno definitivno za sve;
Je naizmjeničan među svojstvenim vrijednostima postoje i pozitivni i negativni.
